LOGIKA
MATEMATIKA
Pertemuan 1
Sebuah himpunan adalah kumpulan
obyek atau simbol yang memiliki sifat yang sama. Anggota himpunan disebut
elemen.
Contoh 1.1.
D himpunan nama hari dalam satu minggu.
M himpunan mahasiswa jurusan teknik informatika
di Universitas Gunadarma.
N himpunan bilangan asli. ð
Sebuah himpunan
dapat dinyatakan dalam bentuk daftar anggota (bentuk pendaftaran) atau dengan
menyebutkan sifat yang dimiliki oleh semua anggota (bentuk pencirian).
Contoh 1.2.
D = {
Senin, Selasa, Rabu, Kamis, Jumat, Sabtu, Minggu }
= { x | x nama hari dalam satu
minggu } ð
Himpunan P
disebut himpunan bagian (subset) dari himpunan Q, jika setiap anggota P
merupakan anggota Q. Hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis
sebagai P Ì Q. Dengan cara lain,
hubungan antara P dan Q tersebut dapat ditulis sebagai Q É P dan dibaca Q
superset dari P
atau P terdapat di dalam Q .
Contoh 1.3.
Mahasiswa tingkat dua dari jurusan
teknik informatika di Universitas Gunadarma merupakan anggota dari himpunan M
pada contoh 1.1 di atas. Jika P merupakan himpunan mahasiswa tingkat dua
tersebut, maka P merupakan himpunan
bagian dari himpunan M dan ditulis sebagai P Ì M. Dapat pula ditulis
sebagai M É P dan dibaca M superset dari P . ð
Dua himpunan
dikatakan saling lepas (disjoint) jika mereka tidak memiliki anggota
bersama.
Contoh 1.4.
Himpunan
mahasiswa S1 Universitas Gunadarma dan
himpunan dosen S1
Universitas
Gunadarma merupakan himpunan yang saling lepas. ð
Himpunan kosong
adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dinyatakan sebagai {
} atau Æ .
Contoh 1.5.
A
= { x |
x bilangan asli dan x < 1 } = Æ. ð
Dalam rangka
menyelidiki hubungan antara beberapa himpunan, seringkali dibutuhkan
pendefinisian sebuah himpunan yang disebut himpunan semesta. Himpunan-himpunan
lain yang dibicarakan merupakan himpunan bagian dari himpunan semesta tersebut.
Himpunan semesta biasanya dinyatakan sebagai himpunan S
atau U .
Contoh 1.6.
Himpunan
bilangan riil R merupakan semesta dari himpunan bilangan
asli N dan himpunan bilangan bulat Z . ð
Dua buah
himpunan dikatakan sama jika keduanya memiliki anggota yang benar-benar sama.
Contoh 1.7.
{
x |
x + 2 = 4 } = { y | 3 y = 6 }. ð
Diagram
Venn biasa digunakan untuk menggambarkan himpunan dan hubungan antar himpunan.
Anggota dari setiap himpunan ditempatkan dalam sebuah bentuk tertutup, biasanya
lingkaran. Himpunan semesta didefinisikan harus mengandung semua himpunan lain
dan biasa digambarkan dengan sebuah segi empat.
Contoh 1.8.
S = himpunan bilangan riil.
Z = himpunan
bilangan bulat.
N
= himpunan bilangan asli. ð
Jika S
adalah himpunan semesta dan himpunan A Ì S , komplemen dari A , ditulis
A’ , adalah himpunan dari semua
anggota S yang bukan merupakan anggota A
.
A’ = { x | x ÏA }
Gabungan
(union) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A È B, adalah sebuah himpunan
yang anggotanya merupakan anggota A atau
anggota B atau anggota keduanya.
A È B = { x | x ÎA atau
x ÎB
}
Irisan
(interseksi) himpunan A dan himpunan B, ditulis sebagai A Ç B, adalah sebuah himpunan
yang anggotanya merupakan anggota bersama dari himpunan A dan B.
A Ç B = {
x | x ÎA dan
x ÎB
}
Contoh 1.9.
Diketahui
S = { k | k Î Z , 1 £ k £ 12 }
A = { x | x Î Z , 1 < x < 10 }.
B
= { y | y Î Z , y kelipatan 3 dan 3 £ y £ 12 }. ð
Gambarkan
diagram Venn yang memperlihatkan hubungan ketiga himpunan tersebut dan hitung
banyaknya anggota A ÈB,
A Ç
B, A’, B’, A’ ÇB’
.
Jawab : ... diserahkan kepada pembaca ...
Gambar
di bawah ini menunjukkan beberapa keadaan yang mungkin terjadi.
 Kondisi
Operasi
|
A
Ç B ¹ Æ
|
A
Ç B = Æ
|
B
Ì A
|
|
A
È B
daerah
berbayang
|
n(A
È B) =
n(A)
+ n(B) – n(A Ç B)
|
n(A
È B) = n(A) + n(B)
|
n(A È B) = n(A)
|
|
A
Ç B
daerah
berbayang
|
n(A
Ç B) =
n(A) + n(B) – n(A
È B)
|
n(A
Ç B) = 0
|
n(A
Ç B) = n(B)
|
Selain
ketiga operasi tersebut di atas, pada himpunan berlaku pula operasi selisih dan
operasi selisih simetri.
Selisih (difference)
dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai A - B, adalah sebuah
himpunan yang anggotanya merupakan anggota himpunan A yang bukan merupakan anggota himpunan B.
A - B
= { x | x ÎA dan
x ÏB
}.
Jelas bahwa
B -
A = { x | x ÎB dan
x ÏA
}.
Selisih simetri
(symetric difference) dari himpunan A dengan himpunan B, ditulis sebagai
A D
B, adalah sebuah himpunan yang anggotanya merupakan anggota gabungan himpunan A
dan B, tetapi bukan merupakan anggota
irisan himpunan A dan B.
A D B = ( A È B ) – ( A Ç B )
atau
A
D B = ( A
– B ) È ( B - A ).
Banyaknya
anggota himpunan D (kardinalitas D) dinyatakan sebagai n(D) atau |D|.
Contoh 1.10.
Dari
contoh sebelumnya, n(D ) = 7, n(N ) tak hingga. ð
Contoh 1.11.
Sebuah survei
dilakukan terhadap 30 siswa SD dan diperoleh data berikut :
B
himpunan siswa yang memiliki sepeda, D himpunan siswa yang memiliki anjing.
n(B)=23 , n(D)=10, n(B Ç
D) = 6.
Tentukan
:
a).
banyaknya anak yang memiliki sepeda dan anjing.
b).
banyaknya anak yang tidak memiliki sepeda maupun anjing.
c). banyaknya anak yang memiliki salah satu
sepeda atau anjing, tapi tidak
keduanya.
Jawab
: ... diserahkan kepada pembaca ... ð
Soal
Latihan 1.1.
1. Sajikan
himpunan A = { x ê
x + 2 < 10, x Î
Z+ } dalam bentuk pendaftaran.
2. Tunjukkan
bahwa jika A Í B
dan B Í
C , maka A Í
C.
3. Tunjukkan
bahwa himpunan A dan himpunan B merupakan himpunan bagian dari A È
B.
4. Tunjukkan
bahwa (A Ç B)
merupakan himpunan bagian dari himpunan A dan dari himpunan B.
5. Tunjukkan
bahwa jika A dan B adalah himpunan, maka
(A – B) Í (A È B).
6. Tunjukkan
bahwa jika A Í B,
maka A È B =
B.
Himpunan di bawah operasi gabungan, irisan
dan komplemen memenuhi berbagai hukum aljabar. Tabel berikut menampilkan
hukum-hukum yang berlaku pada operasi himpunan tersebut.
|
Hukum Asosiatif
|
( A È B ) È C = A È ( B È C )
|
( A Ç B ) Ç C
= A Ç ( B Ç C )
|
|
Hukum Komutatif
|
A È B = B È A
|
A Ç B = B Ç
A
|
|
Hukum Distributif
|
A È
( B Ç C ) = ( A È
B ) Ç (A È C )
|
A Ç
( B È C ) = ( A Ç
B ) È (A Ç C )
|
|
Hukum Involusi
|
(A’) ’ = A
|
|
Hukum Idempoten
|
A È
A =
A
|
A Ç
A =
A
|
|
Hukum Identitas
|
A È
Æ = A
|
A Ç S
= A
|
|
Hukum Komplemen
|
A È
A’ = S
|
A Ç
A’ =
Æ
|
|
Hukum de Morgan
|
( A È B ) ‘ = A’ Ç
B’
|
( A Ç
B )’ = A’ È B’
|
Contoh 1.12.
Jika P, Q dan R adalah himpunan, tunjukkan
bahwa
( P È
Q ) Ç
( P’ Ç
R )’ = P È
( Q’ È
R )’ .
Jawab :
|
Pernyataan
(
P È
Q ) Ç
( P’ Ç
R )’ = ( P È
Q ) Ç
( (P’ )’ È
R’ )
(P’
)’ = P
\(
P È
Q ) Ç
( P’ Ç
R )’ = ( P È
Q ) Ç
( P È
R’ )
(
P È
Q ) Ç
( P È
R’ ) = P È
( Q Ç
R’ )
(
Q Ç
R’ ) = ( Q’ È
R )’
\(
P È
Q ) Ç
( P’ Ç
R )’ = P È (
Q’ È
R )’
|
Alasan
hukum
de Morgan
hukum
involusi
substitusi
hukum
distribusi
hukum
de Morgan
substitusi
|
ð
Contoh 1.13.
Jika P, Q dan R adalah himpunan,
tunjukkan bahwa P’ È (Q Ç R)’
Ç
(P’ Ç
Q’ ) = P’ Ç Q’
Jawab :
...diserahkan kepada pembaca.... ð
Soal
Latihan 1.2.
1. Buktikan
bahwa (A Ç B) È
(A Ç
B’ ) = A.
2. Buktikan
bahwa, jika A È B =
S, maka A’Í
B. (S = semesta).
3. Buktikan
bahwa A Ç (A’
È
B ) = A Ç
B.
Anggota sebuah himpunan dapat
dihubungkan dengan anggota himpunan lain atau dengan anggota himpunan yang
sama. Hubungan tersebut dinamakan relasi.
Contoh 2.1.
Misalkan M = { Ami, Budi, Candra, Dita } dan N = { 1, 2, 3 }. Misalkan pula, Ami berusia 1 tahun, Budi berusia 3
tahun, Candra berusia 2 tahun dan Dita berusia 1 tahun, maka kita dapat
menuliskan sebuah himpunan P = {(Ami, 1), (Budi, 3), (Candra, 2), (Dita, 1)} dimana P merupakan
himpunan pasangan terurut yang menggambarkan hubungan antara himpunan M dengan
himpunan N. Himpunan P merupakan relasi antara himpunan M dengan himpunan N dan
dapat ditulis sebagai P = { (x,y) | x berusia y, dimana xÎM dan yÎN }. ð
Misalkan A dan
B adalah sembarang himpunan yang
tidak kosong. Perkalian Cartesian A x B
adalah himpunan semua pasangan terurut (x,y) dimana xÎA dan yÎB.
A x B = { (x,y) | untuk setiap xÎA dan yÎB }
Contoh 2.2.
Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D
= { x, y }.
C x D
= { (2,x) , (2,y) , (3,x) , (3,y) , (4,x) , (4,y) }
D x C
= { (x,2) , (y,2) , (x,3) , (y,3) , (x,4) , (y,4) } ð
Banyaknya anggota himpunan hasil perkalian cartesian A x B
sama dengan hasil kali antara
banyaknya anggota A dengan banyaknya anggota B .
n(A x B ) = n (A ) x n(B )
.
Pada umumnya, A x B ¹ B x A . Akan tetapi n(A x B ) = n (B x A ).
Contoh 2.3.
1.
Dari contoh 2.2. di atas, diketahui n(C ) = 3 dan n(D) = 2.
Dengan demikian n(C x D ) = 3 x 2
= 6.
2. Dari contoh 2.1. di atas, n(M x N ) = n(N x M ) = 12. ð
Sebuah relasi
R yang memasangkan anggota himpunan A
kepada anggota himpunan B merupakan sebuah himpunan bagian dari perkalian
cartesian A x B, ditulis R : A ® B .
Jika sebuah relasi R didefinisikan pada himpunan A , maka R Í A x A dan ditulis
R : A ® A .
Contoh 2.4.
1. Misalkan C = { 2, 3, 4 } dan D
= { x, y }.
Sebuah
relasi R1: C ® D didefinisikan sebagai R1 = {(2,y) , (3,x) , (4,x), (4,y) }. Jelas bahwa
R1 Í C x D.
2. Relasi R2 : G ® G didefinisikan pada
himpunan G = {5, 7, 11} sebagai
R2 = { (x,y) |x < y, dimana
x, yÎG }. Relasi tersebut dapat dinyatakan sebagai R2 =
{(5,7),(5,11), (7,11)} dan jelas bahwa R2
Í G x G.
3. Diketahui Q = {w, k} . Tentukan Q x Q dan relasi R3 = { (x,y) | x ¹ y, x, yÎQ }. Apakah R3 Í Q x Q
? ð
Jika A dan B adalah himpunan yang masing-masing
memiliki sebanyak n(A) dan n(B) anggota, maka
n(A x B) = n(A) x n(B). Setiap
relasi yang memasangkan anggota A dengan anggota B merupakan himpunan bagian
dari perkalian cartesian A x B . Dengan
demikian, dapat disimpulkan bahwa dapat didefinisikan sebanyak
................... relasi yang memasangkan anggota A kepada anggota B .
Sebuah
relasi dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu : himpunan pasangan terurut
dalam bentuk pendaftaran (tabulasi), himpunan pasangan terurut dalam bentuk
pencirian, diagram panah, diagram koordinat atau grafik relasi, matriks relasi,
bentuk graf berarah (digraf)
Contoh 2.5.
Diketahui C = { 2, 3, 4 }, D = { x, y }
dan sebuah relasi yang ditulis
dalam bentuk pendaftaran R1 = {(2,y) ,
(3,x) , (4,x), (4,y) }. Relasi tersebut
dapat disajikan dalam bentuk lain, misalnya :
Bentuk diagram panah Bentuk diagram koordinat Bentuk Matriks
ð
Setiap
relasi R dari himpunan A kepada himpunan B memiliki invers yang dinamakan R-1 dari himpunan
B kepada himpunan A, yang ditulis sebagai
R-1 = { ( y , x ) | ( x , y ) Î R }
Dengan kata lain, relasi invers R-1 dari
R mengandung pasangan-pasangan
terurut yang bila dibalikkan akan terkandung dalam relasi R .
Contoh 2.6.
Misalkan A = {1, 2, 3}, B = {
a, b} dan relasi R = { (1,a) , (2,a) , (2,b) , (3,a) }
merupakan relasi dari A pada B. Invers dari relasi R
adalah relasi
R-1 = {
(a,1) , (a,2) , (b,2) , (a,3) }. ð
Contoh 2.7.
Misalkan W =
{a, b, c}, relasi R = { (a,b) , (a,c) , (c,c) , (c,b) }
merupakan relasi pada W . Invers dari relasi R
adalah relasi
R-1 = {
(b,a) , (c,a) , (c,c) , (b,c) } ð
Soal Latihan 2.1.
1. Diketahui G = { 5, 7, 11
}. Tentukan G x G dan
n(G x G ).
2. Diketahui himpunan A = {a,
b} dan himpunan B = { 9 }. Tentukan semua relasi R : A ® B yang dapat didefinisikan
dan hitung jumlahnya.
3. Diketahui himpunan C = {x, y}.
Tentukan semua relasi R : C ® C yang dapat didefinisikan dan hitung
jumlahnya.
4. Misalkan D = {1, 3, 5, 9}. Pada himpunan tersebut didefinisikan relasi
a. R 1 = { (x,y) | x ³ y }
b. R 2 = { (x,y) | x + 2 £ y }
c. R 3 = { (x,y) | x.y ³ 50 }
Sajikan relasi-relasi tersebut dalam bentuk himpunan pasangan
terurut.
Tentukan invers dari setiap relasi tersebut.
5. Nyatakan invers dari tiap relasi berikut :
a. R = { (x,y) | x habis dibagi oleh y, x,
y ÎZ }
b. R = { (x,y) | x £ y, x, y ÎZ }
c. R = { (x,y) | x – 4 = y, x, y ÎZ }
Misalkan R
sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan A. Relasi R dikatakan bersifat refleksif
jika untuk setiap a Î A berlaku (a,a) Î R.
Contoh 2.8.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }. Pada A didefinisikan relasi R1 = { (1,1), (1,2), (2,2),
(2,3) , (3,3) , (3,2) }. Relasi R1
tersebut bersifat refleksif. ð
Contoh 2.9.
Diketahui B = {2,4,5}. Pada
B didefinisikan relasi R2={(x,y)|x kelipatan y, x,yÎB }. Maka R2 = {(2,2), (4,4), (5,5),
(4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat refleksif. ð
Contoh 2.10.
Diketahui B = {2,4,5}. Pada B
didefinisikan relasi R3 = {(x,y)|x + y <10,
x,yÎA}. Maka R3={(2,2), (2,4),
(2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4)}. Relasi R3 tersebut tidak bersifat refleksif. ð
Relasi R
bersifat simetris jika untuk setiap
(a,b) Î R berlaku (b,a) Î R.
Contoh 2.11.
Diketahui A = { 1, 2, 3
}. Pada
A didefinisikan relasi R4 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3)
}. Relasi R4 tersebut bersifat simetris. ð
Contoh 2.12.
Diketahui B = { 2, 4, 5 }.
Pada B didefinisikan relasi R2 = {
(x,y) | x kelipatan y , x,y Î B } = { (2,2) ,
(4,4) , (5,5) , (4,2) }. Relasi R2 tersebut
tidak bersifat simetris karena (4,2) Î R2 tetapi (2,4) Ï R2. ð
Relasi
R bersifat transitif, jika untuk setiap (a,b)ÎR dan (b,c)ÎR berlaku (a,c)ÎR.
Contoh 2.13.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A
didefinisikan relasi R4 = { (1,1)
, (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R4 tersebut bersifat transitif. ð
Contoh 2.14.
Relasi R1 = { (1,1) , (1,2) ,
(2,2) , (2,3) , (3,3) , (3,2) } yang didefinisikan pada himpunan A = {1, 2, 3 }
tidak bersifat transitif, karena terdapat (1,2) Î R1 dan (2,3) Î R1, tetapi (1,3) Ï R1 . ð
Relasi R
dikatakan bersifat antisimetris
jika untuk setiap (a,b) Î R dan (b,a) Î R berlaku a = b.
Contoh 2.15.
Pada himpunan B = { 2, 4, 5 } didefinisikan relasi R2 = { (x,y) | x kelipatan y , x,y Î B }. Dengan
demikian R2 = {(2,2),(4,4),(5,5),(4,2)}. Relasi R2 tersebut bersifat antisimetris. ð
Contoh 2.16.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A
didefinisikan relasi R5 = { (1,1) ,
(1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R5 tersebut tidak bersifat antisimetris karena terdapat (1,2)ÎR5 dan (2,1) Î R5, tetapi 1 ¹ 2. ð
Relasi R
disebut sebagai sebuah relasi
ekivalen jika relasi tersebut bersifat
refleksif, simetris dan
transitif.
Contoh 2.17.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A didefinisikan relasi
R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R5 tersebut bersifat
refleksif, simetris dan transitif. Oleh karena
itu relasi R5 merupakan relasi ekivalen. ð
Contoh 2.18.
Diketahui B = { 2, 4, 5 }.
Pada B didefinisikan relasi R2 = {
(x,y) | x kelipatan y , x,y Î B }.
R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5)
, (4,2) }
Relasi R2 tersebut tidak
bersifat simetris, oleh karena itu relasi tersebut bukan relasi ekivalen. ð
Relasi R
disebut sebagai sebuah relasi
pengurutan sebagian (partial ordering),
jika relasi tersebut bersifat refleksif,
transitif dan antisimetris.
Contoh 2.19.
Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Pada A didefinisikan relasi
R5 = { (1,1) , (1,2) , (2,2) , (2,1) , (3,3) }
Relasi R5 tersebut bersifat
refleksif dan transitif, tetapi tidak bersifat antisimetris. Oleh karena
itu relasi tersebut bukan merupakan relasi pengurutan sebagian. ð
Contoh 2.20.
Diketahui B = { 2, 4, 5 }.
Pada B didefinisikan relasi R2 = {
(x,y) | x kelipatan y , x,y Î B }.
R2 = { (2,2) , (4,4) , (5,5)
, (4,2) }
Relasi R2 tersebut bersifat
refleksif, antisimetris dan transitif. Oleh karena itu relasi tersebut
merupakan relasi pengurutan sebagian. ð
Soal Latihan 2.2.
1. Diketahui D = { x | x garis lurus }
Pada D
didefinisikan relasi R = { (x,y) | x sejajar y, x Î D , y Î D }
Relasi R tersebut bersifat
.....................................................
2. Diketahui P = { x | x subset dari himpunan A
}
Pada P
didefinisikan relasi R = { (x,y) | x Í y , x Î P , y Î P }
Relasi R tersebut bersifat
.....................................................
3. Diketahui D = { x | x garis lurus }
Pada D didefinisikan relasi R = { (x,y) | x tegak lurus
y, x Î D , y Î D }
Relasi R tersebut bersifat
.....................................................
4. Relasi-relasi berikut didefinisikan pada himpunan B = { 2, 4, 5
}.
a.
R = { (2,2) , (4,4) , (5,5) }
b.
R = { (2,4) , (4,5) , (2,5) , (5,2) , (2,2) }
c.
R = { (5,4) }
d.
R = { (x,y) | x habis membagi y , x,y Î B }.
Tentukan sifat yang dimiliki oleh masing-masing relasi tersebut.
5. Relasi-relasi berikut didefinisikan pada himpunan Z (himpunan
bilangan bulat).
a.
R = { (2,2) , (4,4) , (5,5) }
b.
R = { (2,4) , (4,5) , (2,5) , (2,2) }
c.
R = { (5,4) }
d.
R = { (x,y) | x habis membagi y }.
e.
R = { (x,y) | x ³ y }.
Tentukan sifat yang dimiliki oleh masing-masing relasi tersebut.
6. Diketahui D = {
x | x garis lurus }. Pada D
didefinisikan relasi
a.
R = { (x,y) | x sejajar y, x Î D , y Î D }
b.
R = { (x,y) | x tegak lurus y, x Î D , y Î D }
c.
R = { (x,y) | x berpotongan dengan y, x Î D , y Î D }
Di antara
ketiga relasi tersebut, sebutkan relasi yang merupakan relasi ekivalen dan
relasi yang merupakan relasi pengurutan sebagian.
Misalkan A
dan B adalah himpunan yang tidak kosong. Sebuah
relasi f
dari A pada
B disebut fungsi
jika untuk setiap x Î A terdapat
satu dan hanya satu y ÎB
dimana (x ,y ) Î f .
Contoh 3.1.
Relasi R1
didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R1 =
{(3,4),(4,4), (5,3)}. Relasi R1 tersebut merupakan sebuah fungsi.
Relasi R2
didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R2 =
{(3,4),(3,5), (4,4), (5,3)}. Relasi R2 tersebut bukan sebuah fungsi.
Relasi R3 didefinisikan pada himpunan A={3,4,5} sebagai R3
= {(3,4),(3,5), (5,3)}. Relasi R3 tersebut bukan sebuah
fungsi. ð
Jika f
merupakan fungsi yang memasangkan kepada setiap anggota A satu
dan hanya satu anggota B , atau
ditulis f : A ® B, maka A
disebut sebagai domain dan B
disebut sebagai co-domain.
Jika f(x) = y , maka y
disebut image dari x di
bawah f dan x
disebut preimage dari
y .
Contoh 3.2.
Dari contoh 1, fungsi R1
= {(3,4),(4,4), (5,3)}. Himpunan A = {3, 4, 5} merupakan domain dan
co-domain dari fungsi R1 . ð
Daerah hasil (range) dari f : A ® B adalah himpunan image dari semua anggota A di
bawah fungsi f.
Contoh 3.3.
• f(a) = X.
• image dari d
adalah X.
• domain dari
f adalah P = {a, b, c, d}
• co-domain dari f adalah
Q = { X, Y, Z }
• f(P) = { X, Y }
• preimage
dari Y adalah
c
• preimage
dari X adalah
a, b dan d
• f({c,d}) = {X,Y }
• range
dari f adalah {X,Y } ð
Misalkan f sebuah fungsi dari himpunan A pada himpunan B.
Fungsi f disebut fungsi satu-satu (one-to-one) atau
injectif jika semua preimage adalah unik. Dengan kata lain, jika
a ¹ b maka
f(a) ¹ f(b) . Fungsi f disebut fungsi pada (onto)
atau surjectif jika
setiap y pada B memiliki
preimage. Dengan kata lain, untuk setiap y dalam B terdapat sebuah x
dalam A demikian hingga f(x) = y .
Fungsi f disebut
bijectif, jika f
merupakan fungsi satu-satu dan pada .
Contoh 3.4.
1. Fungsi pada contoh 3.3 di
atas bukan merupakan fungsi satu-satu dan bukan merupakan fungsi pada. Dengan
demikian, fungsi tersebut bukan merupakan fungsi bijektif.
Nyatakan fungsi-fungsi berikut sebagai fungsi satu-satu, fungsi pada
atau fungsi bijektif.
ð
Jika
terdapat bijeksi antara himpunan A dan himpunan B, maka banyaknya anggota kedua
himpunan tersebut harus sama. Dengan kata lain, kedua himpunan tersebut harus
memiliki kardinalitas yang sama.
Misalkan f sebuah fungsi
dari himpunan A pada himpunan B. Invers dari fungsi f adalah relasi f -1 : B ® A
dimana f -1(B) = { x | f (x) = y , xÎA, yÎB }.
Contoh 3.5.
Diketahui
fungsi f : P
® Q
Invers dari fungsi
tersebut adalah f -1 : Q ® P :
ð
Contoh 3.6.
Diketahui fungsi f : P®Q , dimana P = { 2,4,6
}, Q = { 1,2,4,9,16,25,36 } dan f(x) =
x2. Invers dari fungsi f adalah f -1(x) = Öx dimana x Î Q dan f -1(x)ÎP ð
Sebuah fungsi disebut sebagai fungsi invers jika invers dari fungsi
tersebut merupakan sebuah fungsi.
Contoh 3.7.
Fungsi f dari contoh soal 3.5. di atas bukan fungsi invers,
karena f-1 bukan fungsi. ð
Misalkan f : B à C dan g
: A à B adalah fungsi.
Komposisi f dengan
g , ditulis fog adalah fungsi dari A kepada C yang didefinisikan sebagai
fog(x) = f(g(x)).
Contoh 3.8.
Jika
f (x) = x2 dan g (x) = 2x + 1, maka
fog (x) = f(g (x)) = (2x+1)2
dan
gof (x) = g (f (x)) = 2x2
+ 1. ð
Contoh 3.9.
fog(a) = r , fog(b) = r ,
fog(c) = p , fog(d) = r . ð
Soal Latihan 3.1.
1. Di antara relasi-relasi berikut, relasi manakah yang merupakan
fungsi ?
2. Fungsi-fungsi berikut didefinisikan pada himpunan bilangan riil
R. Tentukan fungsi yang merupakan fungsi satu-satu, fungsi pada atau fungsi
bijektif.
a.
f(x) = x
b.
f(x) = x2
c.
f(x) = x3
d.
f(x) = | x |
3. Fungsi-fungsi berikut didefinisikan pada himpunan bilangan riil
R. Tentukan invers dari setiap fungsi tersebut dan tentukan fungsi yang
merupakan fungsi invers.
a. f(x) = x
b. f(x) = x2
c. f(x) = x3
d. f(x) = | x |
4. Diketahui A = { 1, 2, 3 }.
Tentukan semua fungsi invers yang dapat didefinisikan untuk memetakan A
pada A.
5. Diketahui f(x) = 2 x . Tentukan
a. f(N ) ; N = himpunan bilangan asli.
b. f(Z ) ; Z = himpunan bilangan bulat.
c. f(R ) ; R = himpunan bilangan riil.
Aset
pemimpin Libya Muammar Gaddafi dan sanak saudaranya dibekukan pada Maret 2011,
angka-angka yang keluar mengejutkan.
Presiden
Syria Bashar al-Assad mantan mahasiswa dokter mata ini memastikan bahwa
kerabatnya menempati posisi-posisi strategis di pemerintahan.
Menjadi
kepala militer selama 30 tahun, bekas Presiden Mesir Hosni Mubarak mengumpulkan
kekayaan di tengah rakyatnya kesusahan.
Mantan
Presiden Yaman Ali Abdullah Saleh berkuasa selama 30 tahun sampai ia
menyerahkan kekuasaan baru-baru ini.
Bekas
Presiden Tunisia Zine al Abidine Ben Ali dihukum 35 tahun penjara lewat sidang
in absentia. Diturunkan oleh revolusi Melati, ia hidup berlebihan sementara
rakyatnya menderita dalam kejahatan hak asasi manusia.
Presiden
Zimbabwe Robert Mugabe mengubah Zimbabwe yang dulunya kaya menjadi negara
mainannya, ia membunuhi rival-rivalnya dan menjarah negaranya habis-habisan.
Presiden
Equatoguine Teodoro Obiang Nguema Mbasogo menjarah habis-habisan negaranya yang
kaya minyak. Ia sama sekali tak membagi keuntungan negara itu dengan rakyatnya.
Nilai kekayaannya mencapai $1 miliar (Rp 9,6T), sementara rakyatnya hidup hanya
dengan $1 per hari (Rp 9615).
